第2回：ESG効率的フロンティア

本連載では、サステナブル投資をファイナンス理論で読み解く基礎となる論文（PFP論文）を解説しています。

Pedersen, L. H., Fitzgibbons, S., & Pomorski, L. (2021). Responsible investing: The ESG-efficient frontier. Journal of Financial Economics, 142(2), 572-597.

参考文献として、上記論文の内容も含む翻訳書『サステナブル投資のパズルーファイナンス理論で読み解くESG』（ルーカス・ポモルスキ著、中山 桂翻訳、鹿子木 亨紀監訳、金融財政事情研究会）もご参照ください。

1. 第2回のゴール：ESG入りのポートフォリオ選択、トレードオフを明らかにする

連載第1回では、問題設定をするとともに、ESGがリターンを動かす2つの力（情報\(\lambda\)、選好\(\pi\)）と、3つの投資家タイプU/A/Mを導入しました。そして、ESG選好を持つタイプM投資家のポートフォリオ選択問題を、

として、リターン・リスク・ESGの3要素のトレードオフとして定式化しました。
言葉で説明すると、タイプM投資家は 「期待リターン」－「リスクペナルティ」＋「ESGからの効用」を最大化するポートフォリオを選ぶ、となります。

今回はPFP論文に従ってこの最適化問題を解き、最適ポートフォリオ \(x\) を求めます。数式の式番号は、元論文に従ってつけています。
再び記号を確認しておきます。

シャープレシオとESG選好のトレードオフ

2. シャープレシオとESGのトレードオフ

さて、（4）式から \(x\) を求めるにあたって、目標とするリスクレベル \( \sigma=\sqrt{x' \Sigma x}\) とESGスコア \( \bar{s}=\frac{x's}{x'1} \) をいったん固定し、その条件下で期待リターン \(x' \mu \) を最大化するポートフォリオを考えます。

この条件下で期待リターンを最大化することは、そのESGスコアにおける最大シャープレシオ \( SR(\bar{s}) \) を達成することと同義です。期待リターン \( x'\mu \) はシャープレシオ×リスクなので、（4）式は以下のようになります。

次に最適なリスク \(\sigma\) を決めるため、（7）式を \(\sigma\) について微分してゼロと置き、\(\sigma\) について解いて最適なリスク量 \(\sigma^*\) を求めます。

最適なリスク量は最大シャープレシオに比例し、リスク回避度 \(\gamma\) に反比例します。
これを（7）の中身に代入すると

最適化問題の解は、目的関数全体に定数 \(2\gamma\) を掛けても変わらないので、整理すると（4）（7）は

となります。これがPFP論文の命題1(Proposition 1)です。

（8）式の第一項 \( (SR(\bar{s}))^2 \) はシャープレシオ（の2乗）でありポートフォリオの純粋な効率性を表し、第二項 \( 2\gamma f(\bar{s}) \) はESGに対する投資家の選好度を表します。タイプMの投資家はこの合計を最大化するようなESGレベル \( \bar{s} \) をESG効率的フロンティア上から選択することになります。

最適ポートフォリオ

3. 投資家の選好の強さが、ポートフォリオ選択に及ぼす影響

では、次にこの式（4）および（8）を最大化する最適ポートフォリオの中身がどうなるのかを求めてみましょう。それが論文の命題3（Proposition 3）です。

（10）式の計算過程は論文のAppendixに譲りますが、ここではこの式のお気持ちを解説します。
通常の平均分散アプローチ（マーコウィッツの最適化）の解は \(x=\frac{1}{\gamma}\Sigma^{-1}\mu\) で求められます。（10）式は従来の期待リターン \(\mu\) を、ESG調整済み期待リターン \(\mu + \pi(s - 1\bar{s})\) に置き換えた形をしています。
これは直観的には、「ある銘柄のESGスコア \(s\) が目標とする平均スコア \(1\bar{s}\) より高ければ、その銘柄の期待リターンを主観的に上方修正する」ということです。この時にかかる係数が \(\pi\) であり、投資家がどれくらいESGを選好するかの「選好の強さ」を表します。

4. ESG-SRフロンティアの形状と3種類の投資家

さてここまで解説してきた数式が、視覚的にどのような意味を持つのかを確認してみましょう。
縦軸にポートフォリオの投資効率（最大シャープレシオ）、横軸にESGスコアを取った「ESG-SRフロンティア」を描くと、このような山型の形状になります。

ESG-efficient Frontier

なぜこのような形になるのでしょうか。そして、連載第1回で導入した3つのタイプの投資家はどこに位置するのでしょうか。

なぜフロンティアは山型になるのか

この山の頂点は、ESGスコアを一切気にせず、純粋に市場の全情報を使ってシャープレシオだけを最大化した「接点ポートフォリオ」です。

この頂点のESGスコアから離れて、より高い（あるいはより低い）ESGスコアを目標として設定することは、最適化問題において制約を追加することを意味します。その場合達成できる最大値（シャープレシオ）は必ず下がります。これが、頂点から離れるほどなだらかに下っていく「山型」になる理由です。

3種類の投資家はフロンティアのどこに位置するのか

3種類の投資家はどこを選ぶのか

タイプA（ESG考慮の）投資家

位置：山の頂点

理由：タイプAの投資家はESGに対する選好はありませんが、ESGが将来のリターンやリスクを予測する有用な情報であることを知っています。そのため、すべての情報をフル活用して、純粋にシャープレシオが最大になる山の頂点を選びます。「ESGインテグレーションがポートフォリオにプラスである」というのは自明といえるのではないでしょうか。

タイプM（ESG志向の）投資家

位置：頂点より右側の斜面（フロンティア）上のどこか

この投資家はESGへの選好 \( f(\bar{s}) \) を持ち、式（8）で見たようにポートフォリオの効率性\(SR\)とESG選好のトレードオフを検討したうえで \( \bar{s} \) を選択します。図1で表すとフロンティア曲線上、接点ポートフォリオの右側に描かれた*印がそれです。高いESGスコアを求めれば求めるほど\(SR\)は低下するというトレードオフの関係にあります。タイプMの投資家は自らのESG選好に合わせて、式（8）を最大化するレベルの \( \bar{s} \) を選択します。

タイプU（ESG無視の）投資家

位置：フロンティアの下側

理由：この投資家はそもそも\(\mu\)と\(\Sigma\)をESG情報を完全に無視して推定するので、タイプA、Mの投資家に比べ少ない情報で投資判断をすることになります。したがってその最適ポートフォリオはフロンティア上ではなく、フロンティアの下側に位置します。つまり非効率な地点に沈んでしまうわけです。

まとめと次回の予告

5. おわりに：第2回のまとめと次回の予告

第2回のまとめ：ポートフォリオ選択

今回は「ESGを意識するとき、投資家のポートフォリオ選択はどう変わるのか」について数式を用いて解説してきました。重要なポイントは3つです。

• 意思決定の分解（命題1）
  ESG投資の意思決定は、市場データから客観的に決まる「ESG-SRフロンティア」と、投資家自身の主観的な「ESGへの選好」の2つに分けて考えられる。
• 期待リターンの主観的調整（命題3）
  最適なポートフォリオは、通常の期待リターンに対して、ESGへの選好に応じて期待リターンを上方修正することで求められる。
• フロンティア上の各投資家タイプの位置
  情報をフル活用するタイプAの投資家が最も効率的（山の頂点）であり、ESGを好むタイプMは投資効率とESGのトレードオフを引き受け（頂点の右側）、情報を無視するタイプUは非効率なポートフォリオ（山の下側）に甘んじることになる。

第3回の予告：ESG-CAPMとリターン決定のメカニズム

今回の議論で、「個別の投資家がどのようにポートフォリオを組むべきか」というミクロの視点を解説しました。PFP論文が次に考えるのは「市場にこれらタイプU、タイプA、タイプMの投資家が存在して取引を行うとき、株価や期待リターンはどう決まるのか？」という問いです。

次回、連載第3回では「市場全体の均衡（マクロの視点）」を考えます。PFP論文のもう一つの核心である「ESG-CAPM（ESG調整済み資本資産価格モデル）」と論文の図表（Fig. 2）を解説し、「ESGは結局、リターンにプラスなのかマイナスなのか？」という本連載の問いに答えます。

そこで登場するのが、今回も登場した投資家のESG選好の強さを表す選好の力\(（\pi）\)と、ESGが将来の企業のファンダメンタルズ（利益）を予測する力を表す情報の力\(（\lambda）\)という2つのパラメータです。これらがどのように綱引きをしてリターンを動かすのか、そのメカニズムを解説します。